Ngày 13/05, Harald Helfgott của École Normale ở Paris Supériure đã đăng một bằng chứng của một trong những vấn đề mở lâu đời nhất trong lý thuyết số. Đó là Giả thuyết Goldbach về ba số nguyên tố (sau đây tạm gọi là Giả thuyết Goldbach tam nguyên - The ternary Goldbach conjecture). Giống như rất nhiều bài toán trong lý thuyết số, rất dễ dàng để phát biểu và để hiểu nhưng rất khó để chứng minh. Giả thuyết như sau:

Tất cả các số lẻ lớn hơn 5 có thể biểu diễn thành tổng của ba số nguyên tố

Lấy ví dụ: 7=2+2+3 và 91=7+41+43.

Giả thuyết Goldbach tam nguyên đôi khi được gọi là giả thuyết Goldbach yếu. Giả thuyết Goldbach mạnh được phát biểu như sau:

Tất cả các số chẵn lớn hơn 2 có thể biểu diễn thành tổng của hai số nguyên tố.

Cả hai giả thuyết này đã được xây dựng trong những thư từ giữa Christian Goldbach và Leonhard Euler vào năm 1742. Về mặt logic, nếu bạn chứng minh được Giả thuyết Goldbach mạnh, bạn sẽ dễ dàng suy ra được Giả thuyết Goldbach yếu: nếu bạn có một số lẻ lớn hơn 5, hãy tách số 3 từ nó. Bây giờ bạn có một số chẵn lớn hơn 2. Vì vậy, nếu bạn biết rằng tất cả các số chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố, bạn có thể thêm số 3 (một số nguyên tố). Như vậy số lẻ của bạn đã được phân tích thành tổng của ba số nguyên tố.


Nhà toán học Christian Goldbach

Đáng buồn thay, điều ngược lại không thể làm được. Nếu bạn có một số lẻ viết thành tổng của 3 số nguyên tố và trừ một trong những số nguyên tố lẻ, bạn đang cố gắng để một số chẵn viết thành tổng của hai số nguyên tố, nhưng không có gì đảm bảo rằng tất cả các số chẵn sẽ hiển thị theo cách này. Nhưng Giả thuyết Goldbach tam nguyên suy ra rằng mọi số chẵn có thể được viết như là tổng của tối đa 4 số nguyên tố. Thật vậy, từ một số lẻ lớn hơn 5, ta trừ đi một số nguyên tố lẻ bất kì (ví dụ, 3, hoặc 257.885.161−1), ta được một số chẵn. Số chẵn này bằng tổng của 4 số nguyên tố bao gồm 3 số nguyên tố ban đầu và số nguyên tố lẻ vừa bị trừ đi. Điều này cải thiện định lý Olivier Ramaré năm 1995 rằng mỗi số chẵn là tổng của tối đa 6 số nguyên tố.

Kết quả của Helfgott là một ý tưởng lớn, nhưng nó đã không đến như một quà tặng từ trên trời. Công việc của ông là một phần của chặng đường dài sử dụng một kỹ thuật gọi là phương pháp vòng tròn Hardy-Littlewood-Vinogradov. (Nghe thật hấp dẫn, phải không?) Ý tưởng rất chung chung của phương pháp vòng tròn là chúng ta biến một câu hỏi về một tập hợp các số, trong trường hợp này các số nguyên tố, thành một câu hỏi về tích phân trên vòng tròn sử dụng kỹ thuật ban đầu đến từ phân tích trong mặt phẳng phức. Điều đó thật kì diệu khi mà nó thậm chí còn có thể chuyển đổi các câu hỏi về số nguyên (những thứ nằm rời rạc trên trục số) thành câu hỏi về những hàm liên tục. "Câu hỏi về phân phối của các số nguyên tố, hoặc số nguyên, có thể được thể hiện một cách tự nhiên bằng các tính chất của các hàm liên tục" Helfgott viết trong một email. Một lời giải thích cụ thể hơn về phương thức vòng tròn là vượt quá khả năng của tôi, nhưng nếu bạn muốn thâm nhập vào nó và giới hạn của nó hơn một chút, bạn có thể kiểm tra bài viết này của Terence Tao. Nó không dành cho những người ghét phương trình đâu đấy.

Trong những năm 1930, nhà toán học Liên Xô Ivan Vinogradov đã giải quyết được Giả thuyết Goldbach tam nguyên cho tất cả nhưng hữu hạn các số lẻ, vì vậy nếu ai đó có thể "chỉ cần" kiểm tra các số lẻ dưới một số cho trước C rất lớn là xong. Chỉ có một vấn đề phiền hà trong những ràng buộc của Vinogradov là thứ tự của 106846168, một số lớn không tưởng đối với tài nguyên tính toán hiện nay, song vẫn bé hơn nhiều đối với giá trị mà Vinogradov cần. Trong 70 năm tới hoặc hơn, các ràng buộc trên được chọn ra khoảng 101.346 như năm 2002, nhưng nó vẫn còn quá lớn để xử lý.

Helfgott bắt đầu làm việc về giả thuyết Goldbach vào năm 2006 với tư cách một tiến sĩ tại Montréal. "Tôi đã cố gắng tìm một số cách khác nhau để chứng minh định lý của Vinogradov", ông viết trong một email. "Tôi nhận ra rằng người ta có thể chứng minh điều đó mà không cần phương pháp vòng tròn", ông viết, nhưng, "các cách khác có vẻ không thể cung cấp cho ta giới hạn hợp lý C". Nhưng thư từ, trò chuyện với nhiều nhà nghiên cứu khác đã gợi ý cho ông làm thế nào để giảm giới hạn từ phương pháp vòng tròn.

Cuối cùng, Helfgott đã vật lộn để đưa được giới hạn trên xuống 1030, một kích thước dễ quản lý hơn, và với David Platt của trường Đại học Bristol, ông có thể kiểm chứng giả thuyết cho tất cả các số nhỏ hơn ràng buộc trên bởi máy tính. Nhưng các tài nguyên tính toán hiện đại nhất đã được dành riêng để chứng minh Giả thuyết Riemann tổng quát (GRH) cho một số lượng lớn nhưng hữu hạn các trường hợp. GRH là một trong những vấn đề chưa được giải quyết quan trọng nhất trong toán học. Nếu được giải quyết, nó sẽ giúp chúng ta hiểu sự phân bố của các số nguyên tố tốt hơn nhiều so với chúng ta. Trong thực tế, nếu GRH đã được chứng minh, Giả thuyết Goldbach tam phân sẽ là một hệ quả tất yếu. Nhưng trong thời gian này, máy tính hỗ trợ kiểm tra của GRH cho số lượng nhất định là điều tốt nhất chúng ta có thể làm.

Tất nhiên, những tiến bộ đáng kể trong một vấn đề mà một số các nhà toán học xuất sắc nhất của thế kỷ trước nghiên cứu không phải là một nhiệm vụ dễ dàng. "Có một vài thời điểm tôi đã phải vứt bỏ một bản thảo dài 50 trang" Helfgott viết. "Thật khó để nói đó là sự đột phá cho dù kế hoạch này sẽ thật sự thành công. Cuối cùng, nếu tôi có mang C xuống 10100, nó sẽ vẫn được lớn hơn số lượng của các hạt hạ nguyên tử trong vũ trụ nhân với số giây kể từ khi có vụ nổ Big Bang cho đến nay thì sẽ có không có hy vọng kiểm tra". Helfgott viết rằng việc theo dõi các giới hạn rõ ràng là một trong những phần khó khăn nhất trong công việc. "Một trong những điều gây phiền nhiễu về vấn đề là nó hóa ra không phải là điều mà tôi có thể làm việc trong đầu tôi trong khi ở trong rạp chiếu phim hay tại một buổi hòa nhạc", ông viết. "Mặc dù vậy, tôi đã nhận được một số ý tưởng hay trong phòng tắm"

Tài liệu của Helfgott đã không được các chuyên gia phản biện nêu ra, nhưng các nhà lý thuyết số dường như lạc quan rằng các định lý sẽ được nêu ra và nghiên cứu cẩn thận. Thật không may, nó không cung cấp nhiều hi vọng cho Giả thuyết Goldbach mạnh. Terence Tao, người đã chứng minh vào năm ngoái rằng tất cả các số lẻ có thể được viết như là tổng của tối đa năm số nguyên tố, đã viết trên Google Plus rằng "phương pháp vòng tròn là rất khó để có thể giải quyết giả thuyết Goldbach mạnh". Helfgott viết rằng vấn đề cơ bản mà Giả thuyết Goldbach mạnh yêu cầu những ước lượng tiệm cận (thông tin tinh tế hơn về số lớn nào đó) tại các điểm quan trọng, chứ không phải là giới hạn trên đơn thuần có sẵn thông qua các phương pháp hiện tại.

Tôi hỏi Helfgott rằng anh đã ăn mừng thành tựu của mình như thế nào. "Vâng, tôi đã có một bài nói chuyện ngày hôm qua, và sau đó tôi đã được mời dự bữa ăn tối của người dân địa phương, điều thường xảy ra khi một thăm một nơi để nói chuyện. Cha mẹ tôi đến thăm, vì vậy đó là thời gian rất tốt để có một kì nghỉ ngắn ngủi". Helfgott vui vẻ khi hoàn thành dự án lớn này và trở lại sinh hoạt bình thường của mình, trong đó bao gồm nghiên cứu phi toán học khá thành công. "Đôi khi tôi phải đối mặt với những khó khăn tiến thoái lưỡng nan là liệu để công việc tới ban đêm hay thay vào đó là chuẩn bị cho một bài kiểm tra tiếng Nga" ông viết. "Hy vọng rằng tôi sẽ thành công trong việc học thứ ngôn ngữ này". Helfgott đã thông thạo tiếng Anh, tiếng Pháp, tiếng Tây Ban Nha, Đức và Quốc tế ngữ, và theo blog của mình "rất cần để thực hành" tiếng Ba Lan, tiếng Quechua (ngôn ngữ bản địa của mình đất nước Peru), và tiếng Nga.